原標(biāo)題：沒有想象力培養(yǎng)，就沒有數(shù)學(xué)教育
黨的二十大報(bào)告提出，加強(qiáng)基礎(chǔ)研究，突出原創(chuàng)，鼓勵(lì)自由探索�？萍疾�、教育部、中科院、自然科學(xué)基金委2019年聯(lián)合制定的《關(guān)于加強(qiáng)數(shù)學(xué)科學(xué)研究工作方案》指出，數(shù)學(xué)是自然科學(xué)的基礎(chǔ)，也是重大技術(shù)創(chuàng)新發(fā)展的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)實(shí)力往往影響著國家實(shí)力，幾乎所有的重大發(fā)現(xiàn)都與數(shù)學(xué)的發(fā)展與進(jìn)步相關(guān)。
數(shù)學(xué)是一門充滿自由和創(chuàng)造力的學(xué)科，數(shù)學(xué)家們可以自由地發(fā)揮想象力，創(chuàng)造出新的概念及方法，探索未知的領(lǐng)域。想象是數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維的基本要素，想象力對于數(shù)學(xué)研究和發(fā)現(xiàn)至關(guān)重要。傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教育往往流于形式主義，不利于培養(yǎng)學(xué)生的想象力。為此，本文著重探討如何有效培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)想象力。
1.數(shù)學(xué)的創(chuàng)造需要想象和想象力
數(shù)學(xué)是一門完全按照符號運(yùn)行的純粹理性科學(xué)，是一門抽象的基于公理化的形式化科學(xué)，具有逐級抽象的特點(diǎn)。數(shù)學(xué)學(xué)科的這種抽象性特點(diǎn)，使得不少人認(rèn)為數(shù)學(xué)研究就是按部就班地從現(xiàn)實(shí)情境中提煉問題，發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)學(xué)問題及其規(guī)律性，進(jìn)而將數(shù)學(xué)問題組織成原理，并用數(shù)學(xué)語言模式描繪原理，最后，進(jìn)行數(shù)學(xué)原理的驗(yàn)證和進(jìn)一步推廣。數(shù)學(xué)學(xué)科這種一步一步逐級抽象的特點(diǎn)常常使人看不到數(shù)學(xué)創(chuàng)造的本真過程，容易讓一些人認(rèn)為數(shù)學(xué)的創(chuàng)造就是按部就班的機(jī)械式過程，數(shù)學(xué)創(chuàng)造不需要想象和想象力，從而導(dǎo)致數(shù)學(xué)教育中常常忽視想象和想象力的培養(yǎng)。
事實(shí)上，想象和想象力在數(shù)學(xué)創(chuàng)造和發(fā)現(xiàn)中起著極其重要的作用。數(shù)學(xué)家可以不受已有體系的思維束縛，大膽地運(yùn)用想象力，發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學(xué)知識。數(shù)學(xué)是一個(gè)有機(jī)的整體，它像一個(gè)龐大的、多層次的、不斷生長的、無限延伸的網(wǎng)絡(luò)。數(shù)學(xué)家們的工作是建立新的網(wǎng)絡(luò)結(jié)點(diǎn)，尋找新的連接，清理和整合眾多的連接，并從客觀世界汲取營養(yǎng)來豐富、延伸這個(gè)網(wǎng)絡(luò)。數(shù)學(xué)的創(chuàng)造大多來自數(shù)學(xué)家的直覺，它離不開想象。數(shù)學(xué)原本就是用來描述所有可想象世界的科學(xué)，它是一個(gè)邏輯上封閉的系統(tǒng)，在基礎(chǔ)公理的奠基下，可以朝各個(gè)方向無限延伸。想象的空間延展到哪兒，數(shù)學(xué)的腳步就能邁到哪兒。簡而言之，數(shù)學(xué)的世界就是一個(gè)充滿無限可能的想象世界。
列寧曾高度評價(jià)想象在科學(xué)創(chuàng)造中的重要作用，認(rèn)為“幻想是極其可貴的品質(zhì)”，他說，“有人認(rèn)為，只有詩人才需要幻想，這是沒有理由的，這是愚蠢的偏見！甚至在數(shù)學(xué)上也是需要幻想的，甚至沒有它就不可能發(fā)明微積分�！闭軐W(xué)家帕斯卡爾也說，“想象的特別之處在于，它可以產(chǎn)生最偉大的事物�！毕胂笫怯梢阎疃人伎嘉粗�，是探索真理寶庫的鑰匙。數(shù)學(xué)發(fā)明創(chuàng)造的動(dòng)力很大程度上是基于想象力的發(fā)揮，數(shù)學(xué)家必須具備想象力，這樣才能發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識之間隱藏的聯(lián)系，并發(fā)揮想象構(gòu)思出新的數(shù)學(xué)知識。
最成功的數(shù)學(xué)家是知識面最寬、概念的類比能力和想象能力最強(qiáng)的人。正如數(shù)學(xué)家愛德華·弗倫克爾所指出的那樣：想象力在我們的工作中確實(shí)起著至關(guān)重要的作用。知名數(shù)學(xué)家、德國馬科斯-普朗克數(shù)學(xué)研究所教授唐·查吉爾也曾指出：對于數(shù)學(xué)家來說，想象力非常重要，雖然這并不代表擁有更豐富想象力的數(shù)學(xué)家就一定能做出更多的成果，但是數(shù)學(xué)家的想象力越豐富，他的數(shù)學(xué)成果的“品味”就越高級，甚至可以開創(chuàng)一個(gè)全新的領(lǐng)域。想象力是能動(dòng)的知識，是創(chuàng)造力和智慧的必要背景。一個(gè)人可能擁有很多數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)扎實(shí)，如果這個(gè)人同時(shí)又具備足夠想象力的話，就有可能創(chuàng)造出新的數(shù)學(xué)知識。
2.很多人“只是學(xué)會(huì)了計(jì)算，而不是數(shù)學(xué)”
想象力是一種非常重要的思維能力，被定義為“形成感官不存在的外部對象的新想法或概念的能力”。它不僅僅是一種形成圖像的能力，而是一種以特定方式思考的能力。每一個(gè)重大基礎(chǔ)問題的突破，都是一次想象力的飛躍。愛因斯坦非常重視想象力，他說，“想象力比知識更重要，因?yàn)橹R是有限的，而想象力概括著世界上的一切，推動(dòng)著進(jìn)步，并且是知識進(jìn)化的源泉。嚴(yán)格地說，想象力是科學(xué)研究中的實(shí)在因素”。
想象力不是生來就有的先天素質(zhì)，而是后天開拓和教育培養(yǎng)的結(jié)果。長期以來，我國傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教育缺乏驚奇和想象力，制約了學(xué)生創(chuàng)造力的發(fā)展。培養(yǎng)想象力不是一朝一夕就能實(shí)現(xiàn)的，需要我們長期堅(jiān)持不懈地努力。
有一個(gè)論點(diǎn)聽起來發(fā)人深省，那就是：我們的學(xué)生可能從未學(xué)過真正的數(shù)學(xué)。正如著名數(shù)學(xué)家陳省身先生在全球數(shù)學(xué)家大會(huì)上指出的那樣：“我們每個(gè)人一生都花了很多時(shí)間學(xué)數(shù)學(xué)，但我們其實(shí)只是學(xué)會(huì)了計(jì)算，而不是數(shù)學(xué)�！逼渲械脑蚝芏唷贪宓慕虒W(xué)方式、教科書和課程，以及我國數(shù)學(xué)教育傳統(tǒng)和考試文化對“規(guī)范”的極端重視，對“遵循規(guī)范”的過度強(qiáng)調(diào)與訓(xùn)練。這些訓(xùn)練教導(dǎo)學(xué)生如何依循規(guī)則找出每個(gè)問題背后統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)答案，實(shí)質(zhì)上嚴(yán)重制約著學(xué)生想象力的發(fā)展。在這種情境下，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)之美、延展想象力的空間相當(dāng)有限。事實(shí)上，學(xué)生在課堂中時(shí)常會(huì)有一些奇怪的想法，這些想法也許聽起來很荒唐，甚至不著邊際，但其實(shí)這正是開發(fā)學(xué)生想象力的絕好機(jī)會(huì)。而在以前的課堂上，很多教師并沒有意識到這種機(jī)會(huì)的可貴，也不擅長把握這樣的機(jī)會(huì)，這種忽視，常常導(dǎo)致學(xué)生創(chuàng)造性想象的意識被扼殺在搖籃之中。
3.將想象力培養(yǎng)滲透到課堂各環(huán)節(jié)
數(shù)學(xué)不是缺乏人性色彩的單純的計(jì)算學(xué)科。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們要鼓勵(lì)學(xué)生大膽想象，讓學(xué)生學(xué)會(huì)自己提出問題、自己發(fā)現(xiàn)、自己試錯(cuò)，親身經(jīng)歷創(chuàng)造中的挫折、產(chǎn)生靈感，最終形成自己的解釋和證明。學(xué)生想象力的發(fā)展應(yīng)成為數(shù)學(xué)教育中必不可少的部分，必須鼓勵(lì)學(xué)生利用他們的想象力獨(dú)立思考。筆者結(jié)合多年的教學(xué)實(shí)踐，談?wù)勗跀?shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生想象力的一些探索。
一是注重背景知識的導(dǎo)入，引導(dǎo)學(xué)生積極討論交流以激發(fā)想象�？v觀數(shù)學(xué)的發(fā)展，人們對數(shù)學(xué)的認(rèn)識和了解，數(shù)學(xué)概念、問題、定理、法則、公式、理論的提出和完善，無不包含著數(shù)學(xué)家們豐富的想象力。如果在教學(xué)中適當(dāng)?shù)亟榻B有關(guān)背景知識，使學(xué)生了解數(shù)學(xué)猜想的提出及數(shù)學(xué)概念、問題、定理、法則、公式和理論建立的來龍去脈，不僅能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，加深學(xué)生的理解程度，而且能使學(xué)生從數(shù)學(xué)家們研究問題的方法中得到啟發(fā)，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)的科學(xué)態(tài)度以及善于想象的意識和能力。
想象力是一種多角度、多層面的思維能力，它需要圍繞某一問題朝著多種不同的方向展開思考。在課堂教學(xué)中，教師可以按照知識內(nèi)容和教學(xué)要求來轉(zhuǎn)變問題的形式和視角，為學(xué)生提供發(fā)揮想象的空間，鼓勵(lì)學(xué)生積極想象，盡可能讓學(xué)生對同一問題說出不同的觀點(diǎn)和看法，同時(shí)支持學(xué)生相互爭辯、討論，在爭辯和討論中促進(jìn)對問題的深入思考。如此一來，學(xué)生的思維被有效啟發(fā)，進(jìn)而培養(yǎng)豐富的想象力。另外，教師還可以有意識地設(shè)計(jì)一些與教學(xué)內(nèi)容密切聯(lián)系的數(shù)學(xué)想象題，采用“頭腦風(fēng)暴法”引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行積極討論，從不同的角度進(jìn)行引導(dǎo)，給學(xué)生提供充分的想象空間和創(chuàng)造想象的機(jī)會(huì)，這種做法常常能沖破空間和物質(zhì)條件的限制，拓寬學(xué)生的思維與視野，激發(fā)學(xué)生的想象，提高其數(shù)學(xué)想象力。
二是運(yùn)用類比，啟發(fā)想象。類比是一種重要的數(shù)學(xué)思維方法，許多數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維是在類比中產(chǎn)生的，許多重大的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)也是通過類比找出相似性從而誕生的。數(shù)學(xué)創(chuàng)造之奇妙，很大程度上在于發(fā)現(xiàn)許多表面上看似毫無關(guān)聯(lián)的事物，卻在本質(zhì)上有著千絲萬縷的聯(lián)系。類比想象能夠讓數(shù)學(xué)家們在差別很大的兩者之間找出共同的特征，數(shù)學(xué)家們也常常根據(jù)不同數(shù)學(xué)知識或符號在某些方面的相似性而建立起聯(lián)系，這種建立聯(lián)系的橋梁便是想象。
在數(shù)學(xué)教學(xué)中，運(yùn)用類比想象是激發(fā)學(xué)生定向思維、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)想象力的有效方法之一。實(shí)踐中，學(xué)生如果具有類比想象的意識和眼光，常常只要理解最基本的數(shù)學(xué)知識，就可以通過類比想象出其他相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識。正確地運(yùn)用類比想象，還能使學(xué)生學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識融會(huì)貫通。正如數(shù)學(xué)家烏拉姆曾指出的：所謂的數(shù)學(xué)才能，在一定范圍內(nèi)正是依賴于這種發(fā)現(xiàn)類比的能力。培育學(xué)生數(shù)學(xué)想象的能力，需要學(xué)生在想象中積累這種通過類比發(fā)現(xiàn)知識之間關(guān)聯(lián)的經(jīng)驗(yàn)，積蓄想象的力量。
三是注重直觀理解和發(fā)掘知識之間的聯(lián)系以啟發(fā)想象。想象是以形象形式為主，“豐富的表象”是展開想象的前提。想象力發(fā)展的首要條件是主體本身具有一定的表象儲(chǔ)備，沒有表象活動(dòng)，就沒有想象力。正如菲爾茨獎(jiǎng)獲得者、法國數(shù)學(xué)家迪厄多內(nèi)所說：“富有創(chuàng)造性的科學(xué)家與眾不同之處，在于他們對所研究的對象有一個(gè)活生生的構(gòu)想和深刻的了解�！泵绹鴶�(shù)學(xué)家斯蒂恩也指出：如果一個(gè)特定的問題可以被轉(zhuǎn)化為一個(gè)圖形，那么，就從思想上整體地把握了問題，并且能創(chuàng)造性思索問題的解法。在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，要培養(yǎng)學(xué)生的想象力，教師就必須遵循直觀性教學(xué)原則，充分發(fā)揮實(shí)物或直觀教具的作用，同時(shí)，善于運(yùn)用多媒體教學(xué)手段或直觀形象的語言為抽象的問題設(shè)計(jì)模型，讓學(xué)生獲得想象的“源泉”，這是產(chǎn)生想象力的沃土。
教學(xué)實(shí)踐中，教師可以借助各種教學(xué)方法與手段，如數(shù)形結(jié)合、注重知識之間的聯(lián)系，于不疑處設(shè)疑，一疑激發(fā)多疑，淺疑探深疑……引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行縱向的朝向“深處”的探索和橫向的朝向“廣處”的發(fā)現(xiàn)，展開“相似性想象”與“相異性想象”，從而激活學(xué)生的思維和想象力，努力讓學(xué)生對數(shù)學(xué)知識達(dá)到直觀的本質(zhì)的理解。教師還可以通過一題多解、一題多變等方法激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。
培養(yǎng)數(shù)學(xué)想象力的策略還有很多，一位好老師應(yīng)該懂得在教學(xué)中怎樣激發(fā)和保護(hù)學(xué)生的想象力。要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)想象力，教師首先要教導(dǎo)學(xué)生打下扎實(shí)的數(shù)學(xué)知識基礎(chǔ)，這是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)想象力的根基。沒有扎實(shí)寬廣的知識面，想象力就是無源之水。想象力的產(chǎn)生是基于經(jīng)驗(yàn)的，直接取決于一個(gè)人先前經(jīng)驗(yàn)的深刻性、豐富性、多樣性，以及他的思維方式。很難想象一個(gè)知識基礎(chǔ)不扎實(shí)、沒有良好思維方式的學(xué)生能有豐富的想象力。事實(shí)上，學(xué)生腦中蘊(yùn)藏著無限的想象力，只要教師努力開發(fā)一切教育元素，將想象力的培養(yǎng)滲透到課堂的各個(gè)環(huán)節(jié)，每一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)都有意識地采取正確的教學(xué)方法去啟發(fā)、誘導(dǎo)學(xué)生，堅(jiān)持不懈地工作，埋在學(xué)生心底的想象和想象力的種子就一定能生根、發(fā)芽、開花、結(jié)果。
（作者：徐彥輝，系溫州大學(xué)數(shù)理學(xué)院副教授）